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| 结合律 | 交换律 | 单位元 | 逆元 | |
|---|---|---|---|---|
| ( $\mathbb{N},+$ ) | ✓ | ✓ | ||
| $(\mathbb{N}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{Z}$, +) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{Z}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $(\mathbb{Q},+)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{Q}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{Q}^{*}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mathbb{R},+$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{R}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{R}^{*}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mathbb{C},+$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{C}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $\mathbb{C}^{*}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(U(1), \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mu_{n}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| ( $\mathbb{R}^{n},+$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $\left(\mathbb{M}_{m, n},+\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $\left(\mathbb{M}_{n}, \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ||
| $\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $O_{n}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $S O_{n}, \cdot$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | |
| ( $X^{X}, \circ$ ) | ✓ | ✓ | ||
| ( $S_{X}, \circ$ ) | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ | ✓ | ✓ | ✓ | |
| $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
注：若 $n=1$，则 $\left.\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right)\right)$ 是交换的。若 $n=1,2$，则 $\left(S O_{n}, \cdot\right)$ 是交换的。若 $X=\emptyset$ 或 $X$ 只有一个元素，则 ( $X^{X}, \circ$ ) 是交换的且存在逆元。若 $X$ 最多有 2 个元素，则 ( $S_{X}, \circ$ ) 是交换的。
定义 2.1.1. 一个群是一个二元结构 $(X, *)$，其中 $*$ 是结合的，带有一个单位元 $e$，并且对于每一个 $x \in X$，都存在一个 $*$ 的逆元，即一个元素 $x^{\prime}$ 使得 $x * x^{\prime}=x^{\prime} * x=e$。注意，单位元 $e$ 和元素 $x$ 的逆元 $x^{\prime}$ 是唯一的。
例 2.1.2. (1) 运算记作 + 的群：$(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$，以及像 $\left(\mathbb{R}^{n},+\right)$ 或 $\left(\mathbb{M}_{n, m}(\mathbb{R}),+\right)$ 这样的向量空间和矩阵例子。
(2) 运算记作 $\cdot$ 的数字群：$\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$，以及 $(U(1), \cdot)$ 和 ( $\mu_{n}, \cdot$ )。
(3) 矩阵乘法下的矩阵群：$\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right),\left(S O_{n}, \cdot\right)$。
(4) ( $S_{X}, \circ$ )，特别是有限群 ( $S_{n}, \circ$ )。
(5) 等价类：$(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 和 $(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ 是群，根据命题 1.4.9。同样，$\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$ 也是一个群，其中如前所述
(6) 如果 ( $G_{1}, *_{1}$ ) 和 ( $G_{2}, *_{2}$ ) 是两个群，那么定义 1.3.1 中定义的乘积二元结构 ( $G_{1} \times G_{2}, *_{1} \times *_{2}$ ) 是一个群。同样，如果 $(G, *)$ 是一个群，$Y$ 是一个集合，那么定义 1.3.2 中定义的二元结构 $\left(G^{Y}, *\right)$ 是一个群。证明留作练习（练习 2.3）。例如，如果 ( $G_{1} *_{1}$ ) 和 ( $G_{2}, *_{2}$ ) 是有限群，那么 ( $G_{1} \times G_{2}, *$ ) 也是一个有限群，并且 $\#\left(G_{1} \times G_{2}\right)=\#\left(G_{1}\right) \#\left(G_{2}\right)$。例如，$((\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}),+)$ 是一个有 4 个元素的群：
由于在 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ 中 $[a]+[a]=2[a]=[0]$，所以 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$ 中的每个元素 $([a],[b])$ 都满足：$([a],[b])+ ([a],[b])=([0],[0])$，换句话说 $([a],[b])$ 是它自己的逆元。
另一方面，以下不是群：$(\mathbb{N},+),(\mathbb{N}, \cdot),(\mathbb{Z}, \cdot),(\mathbb{Q}, \cdot),(\mathbb{R}, \cdot),(\mathbb{C}, \cdot)$， $\left(\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(X^{X}, \circ\right)$。
注 2.1.3. 群 ( $\mathbb{Q}^{*}, \cdot$ )、 $\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$、 $\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$，以及 ( $\left.G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right)$ 和 ( $S_{X}, \circ$ )，都遵循类似的原则构建：从一个结合的二元结构 $(X, *)$ 开始，并存在单位元。然后定义 $X^{\prime} \subseteq X$ 为可逆元素的子集。根据命题 1.4.7 的 (i)，$X^{\prime}$ 在 $*$ 下是封闭的，即对于所有 $x, y \in X^{\prime}$，$x * y \in X^{\prime}$。然后很容易看出 $\left(X^{\prime}, *\right)$ 是一个群：结合律是从更大的集合 $X$ 中的结合律继承的，$e$ 是可逆的，因为 $e^{\prime}=e$，并且根据定义，$X^{\prime}$ 的每个元素都有一个逆元，该逆元也属于 $X^{\prime}$。这里 ( $\mathbb{Q}^{*}, \cdot$ ) 是通过这种方式从 $(\mathbb{Q}, \cdot)$ 产生的（唯一没有乘法逆元的元素是 0），对于 ( $\mathbb{R}^{*}, \cdot$ ) 和 ( $\mathbb{C}^{*}, \cdot$ ) 也是如此。根据定义，$G L_{n}(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R})$ 中可逆元素的子集，$S_{X}$ 是 $X^{X}$ 中具有逆元的函数的集合。类似的过程也适用于从二元结构 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}, \cdot)$ 中提取群 $\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$。
当然，从二元结构到群最常见的方法是将其扩大：我们通过首先添加 0，然后添加负数，从二元结构 ( $\mathbb{N},+$ ) 得到群 ( $\mathbb{Z},+$ )。这个过程可以推广，但只在一些非常特殊的情况下。
从现在开始，我们通常用 $(G, *)$ 来表示一个通用群。实际上，字母 $G$ 的使用是如此根深蒂固，以至于数学家通常会自动假定符号 $G$ 表示一个群。
虽然我们要求群 $(G, *)$ 的二元运算是结合的，但我们通常不要求它是交换的。具有此属性的群有一个特殊名称（但它不是交换群）：
定义 2.1.4. 令 $(G, *)$ 为一个群。如果 $*$ 是交换的，则称 $G$ 是阿贝尔群或交换群。
矩阵群和 $\left(S_{n}, \circ\right)$ (当 $n \geq 3$) 的例子表明，存在许多不阿贝尔的有趣群。
群在数学中以各种方式自然出现：
(1) 数字群：$(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)$ 和 $\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right),\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$。这些群是最熟悉的，但对我们来说也将是最不有趣的。
(2) 群 $(\mathbb{Z},+)$ 和 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$：这些群与初等数论（我们将描述其方式）以及 $(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z},+)$ 的周期性或重复现象（一周七天，一年十二个月等）相关联。正如我们所见，$\left((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}, \cdot\right)$ 也是一个群，并且它也非常重要。同样，$(\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z},+)$ 与周期为 $2 \pi$ 的周期函数（例如 $\cos \theta$ 或 $\sin \theta$）相关联。
(3) 矩阵群：$\left(G L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(S L_{n}(\mathbb{R}), \cdot\right),\left(O_{n}, \cdot\right),\left(S O_{n}, \cdot\right)$。这些群自然地与线性代数相关联，但也（因为 $S O_{n}$ 是固定 0 的 $\mathbb{R}^{n}$ 的刚体运动）与物理和化学相关联。例如，物理定律在 $S O_{3}$ 下应该是“不变的”，可以将其视为改变 $\mathbb{R}^{3}$ 中的直角坐标系。同样，电磁学和狭义相对论基于物理定律在洛伦兹群下是不变的原则，其中我们不使用通常的欧几里得距离，而是查看“距离” $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c t^{2}$，其中 $c$ 是光速。
现代粒子物理学基于这种思想，但针对更奇特的对称群。此外，这些群及其类比在数论中变得非常重要，例如在证明费马大定理所使用的数学中。
(4) 某些几何对象（例如正 $n$ 边形）的对称性以自然的方式形成群（对称群），对于理解各种模式很重要。例如，二面体群 $D_{n}$（正 $n$ 边形的对称群）可以看作是 $O_{2}$ 中保持单位圆内接正 $n$ 边形顶点的元素集合，该正 $n$ 边形顶点对应于单位根的 $n$ 次方根，即集合
明确地，$\#\left(D_{n}\right)=2 n$，并且在练习 1.28 和 1.29 的记法中，$D_{n}$ 是 $O_{2}$ 的以下子集：
另一个例子来自 $\mathbb{R}^{3}$ 中的 5 种正多面体（或多胞形）（柏拉图多面体）：它们是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体或正二十面体。这里，一个正四面体有 4 条边、6 个顶点和 4 个面。正方体有 8 个顶点、12 条边和 6 个面，正八面体有 6 个顶点、12 条边和 8 个面：它们在适当的意义上是自然对偶的，并且具有相同的对称群。正十二面体和正二十面体也是对偶多面体：这里，正十二面体有 20 个顶点、30 条边和 12 个面，而正二十面体有 12 个顶点、30 条边和 20 个面，它们也是对偶多面体。（正四面体是自对偶的。）注意一个等式，它是欧拉公式（不是著名的 $e^{i t}=\cos t+i \sin t$）的一个特例；如果 $v$ 是顶点数，$e$ 是边数，$f$ 是面数，那么
群 $D_{n}$ 出现在分类 17 种可能的重复壁纸图案的背景下（但仅限于 $n=3,4,6$），正多面体的对称群出现在描述 241 种所谓的晶体群（化学中感兴趣）中。另一个有趣的对称群来自魔方的移动。
(5) 另一个有趣的 8 个元素的群是四元数群 ( $Q, \cdot$ )。它与四元数集合 $\mathbb{R}+\mathbb{R} \cdot i+\mathbb{R} \cdot j+\mathbb{R} \cdot k$ 相关联，四元数是 $\mathbb{C}$ 的一个 4 维非交换版本。对我们来说最重要的是集合
因此 $\#(Q)=8$。四元数的乘法遵循以下规则：
由此很容易生成 $(Q, \cdot)$ 的运算表。然而，二元结构是结合的这一点并不立即显而易见。一种检查方法是将 $Q$ 实现为矩阵集合的一个子集，其中运算对应于矩阵乘法，我们自动知道矩阵乘法是结合的。
(6) 集合 $\{1, \ldots, n\}$ 的置换群 $S_{n}$ 记录了洗一副 $n$ 张牌的方式，在组合数学和概率论中很重要。
(7) 许多有趣的无限群出现在拓扑学和几何学中。
(8) 从历史上看，群以一种完全不同的方式出现。自古以来，在许多不同的文化中，人们都了解求解二次（二次）多项式的“二次公式”：如果 $a x^{2}+b x+c=0$ 且 $a \neq 0$，那么
一个长期存在的问题是，是否存在类似的公式来通过涉及系数（包括取 $n$ 次根（根式））的公式来求解更高次多项式方程。这样的公式称为用根式求解多项式方程。在文艺复兴时期，数学家们发现了三次多项式（三次）的这种公式，这归功于 del Ferro、Tartaglia、Cardano，随后又发现了四次多项式（四次）的公式，这归功于 Ferrari。在尝试了几个世纪寻找五次多项式（五次）和更高次多项式的这种公式之后，普遍的共识是这样的公式不可能存在，这一事实最终由 Abel 于 1824 年证明（“五次方程不可解性”）。我们将在现代代数 II 中更详细地解释这意味着什么并概述论证。对我们来说，这里的关键思想是识别多项式根的某些置换作为一个群（多项式的伽罗瓦群）。伽罗瓦的洞察力（约 1830 年）是，这个群的结构与多项式用根式可解性相关联。当然，所有这些都发生在群的抽象定义被提出之前；这主要归功于 Jordan（约 1870 年）。在现代代数 I 中，我们将解释用于证明五次方程不可解性所需的群论。
在本课程中，我们的主要兴趣在于理解有限群。
2.2. 群的第一个性质。以下是关于群的两个简单但基础的结果：
命题 2.2.1 (左消去律和右消去律)。令 $(G, *)$ 为一个群。那么对于所有 $a, b, c \in G$，如果 $a * b=a * c$，则 $b=c$。同样，如果 $b * a=c * a$，则 $b=c$。
证明. 例如，假设 $a * b=a * c$。将两边左乘 $a$ 的逆元 $a^{\prime}$，我们得到
但是 $a^{\prime} *(a * b)=\left(a^{\prime} * a\right) * b=e * b=b$，同样 $a^{\prime} *(a * c)=\left(a^{\prime} * a\right) * c=e * c=c$。因此 $b=c$。$b * a=c * a$ 的情况类似。
注 2.2.2. 如果 $(G, *)$ 不是阿贝尔的，则没有“混合消去律”。换句话说，如果 $a * b=c * a$，我们通常不能得出 $b=c$ 的结论。
命题 2.2.3 (线性方程的唯一解)。令 $(G, *)$ 为一个群。那么对于所有 $a, b \in G$，存在唯一的 $x \in G$ 使得 $a * x=b$。换句话说，给定 $a, b$，“线性方程” $a * x=b$ 有唯一的解 $x \in G$。同样，对于所有 $a, b \in G$，存在唯一的 $y \in G$ 使得 $y * a=b$。换句话说，给定 $a, b$，“线性方程” $y * a=b$ 有唯一的解 $y \in G$。
证明. 首先我们证明唯一性（尽管这个事实是消去律的直接推论）。如果 $a * x=b$，那么将两边左乘 $a$ 的逆元 $a^{\prime}$，我们得到
因此，由于 $a^{\prime} *(a * x)=\left(a^{\prime} * a\right) * x=e * x=x$，所以 $x=a^{\prime} * b$。这确立了唯一性，也确立了存在性，因为如果我们令 $x=a^{\prime} * b$，那么
方程 $y * a=b$ 的情况类似。
推论 2.2.4. 令 $(G, *)$ 为一个群，并令 $a \in G$。通过以下规则定义函数 $\ell_{a}: G \rightarrow G$ 和 $r_{a}: G \rightarrow G$：
那么，对于所有 $a \in G$，$\ell_{a}$ 和 $r_{a}$ 都是从 $G$ 到 $G$ 的双射，因此 $\ell_{a}, r_{a} \in S_{G}$。
证明. 对于所有 $b \in G$，存在唯一的 $x \in G$ 使得 $a * x=\ell_{a}(x)= b$ 这一陈述表明 $\ell_{a}$ 既是满射又是单射，因此是双射。（或者，函数 $\ell_{a^{\prime}}$ 是一个逆函数，可以通过检查
对于所有 $x \in G$ 成立来证明。）对于 $r_{a}$ 的论证类似。
因此，给定一个由群表描述的有限群 $(G, *)$，运算表的每一行都恰好包含 $G$ 的每个元素一次，同样，运算表的每一列也恰好包含 $G$ 的每个元素一次（“数独性质”）。
数独性质使我们能够轻松描述所有元素数量较小的群 $G$。如果 $G=\{e\}$ 只有一个元素，那么必然 $e * e=e$（事实上，任何两个只有一个元素的二元结构都是这样的）。如果 $G=\{e, a\}$ 有两个元素，那么 $e * a=a$，所以数独性质强制 $a * a=e$，并且 $(G, *) \cong(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z},+)$。如果 $G=\{e, a, b\}$ 有三个元素，那么 $e * a=a$，所以 $a * a=e$ 是不可能的，因此 $a * a=b$。同样，$b * b=a$。最后，我们必须有 $a * b=b * a=e$。通过检查运算表很容易看出 $(G, *) \cong(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$。运算表必须如下所示：
| $*$ | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $\quad$ | $*$ | $e$ | $a$ | ||
| :--- | :--- | :--- | |||||
| $e$ | $e$ | $a$ | |||||
| $a$ | $a$ | $e$ | $\quad+\quad$ | $*$ | $e$ | $a$ | $b$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | ||||
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | ||||
| $a$ | $a$ | $b$ | $e$ | ||||
| $b$ | $b$ | $e$ | $a$ |
注意，例如在 $G=\{e, a, b\}$ 有三个元素的情况下，我们不能仅仅通过写下运算表就断定 $(G, *)$ 是一个群。例如，我们还没有检查结合律。然而，通过检查，我们可以看到 $(G, *) \cong(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$，然后我们自动知道 $(G, *)$ 是一个群，因为 $(G, *)$ 同构于 $(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$ 并且 $(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z},+)$ 是一个群（特别地，它是结合的）。
在 $G=\{e, a, b, c\}$ 有四个元素的情况下，情况更为复杂。首先假设存在某个元素，例如 $a$，使得 $a * a \neq e$。那么我们不妨设 $b=a * a$，并令 $c$ 为剩余的元素。另一种可能性是对于所有 $x \in G$，都有 $x * x=e$。使用数独性质，不难检查 $G$ 的两种可能的运算表如下：
| $*$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
|---|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| $a$ | $a$ | $b$ | $c$ | $e$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $e$ | $a$ |
| $c$ | $c$ | $e$ | $a$ | $b$ |
| $*$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
|---|---|---|---|---|
| $e$ | $e$ | $a$ | $b$ | $c$ |
| $a$ | $a$ | $e$ | $c$ | $b$ |
| $b$ | $b$ | $c$ | $e$ | $a$ |
| $c$ | $c$ | $b$ | $a$ | $e$ |
同样，我们不能仅仅通过查看运算表就断定二元结构 $(G, *)$ 确实是群，而结合律仍然是主要问题。然而，通过检查，很容易看出，在第一种情况下，$(G, *) \cong(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z},+)$，而在第二种情况下 $(G, *) \cong(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z},+)$，这两个都是群（并且同样地，它们都是结合的）。因此，所有四个元素的群都同构于 $(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z},+)$ 或 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z},+)$。此外，$(\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z},+)$ 和 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z},+)$ 不同构（为什么不？），所以恰好存在两个非同构的 4 阶群。第二个例子（同构于 $(\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z},+)$ 的那个）通常称为克莱因四元群，有时记作 $V$。
2.3. 记法和约定；指数。我们已经看到，在讨论群时我们将使用字母 $G$。此外，我们通常会说“群 $G$”而不是“群 $(G, *)$”，因为二元运算通常从上下文中是清楚的，或者将是 $(G, *)$ 作为群的唯一可能的明显二元运算。例如，如果我们说“群 $\mathbb{Z}$”，我们将理解其运算是 +，因为 $\mathbb{Z}$ 在 $\cdot$ 下不是群，更不用说在 - 下了。同样，$\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{M}_{m, n}(\mathbb{R})$ 上唯一产生群的自然运算是 +，而 $\mathbb{Q}^{*}, \mathbb{R}^{*}, \mathbb{C}^{*}, U(1), \mu_{n}$ 上唯一产生群的自然运算是 $\cdot$。对于矩阵群 $G L_{n}(\mathbb{R})$，$S L_{n}(\mathbb{R}), O_{n}, S O_{n}$，运算总是理解为矩阵乘法，对于 $S_{X}$ 或 $S_{n}$ 则是函数复合 ∘ （无论如何我们最终都会缩写为 $\cdot$）。
接下来，我们将放弃使用像 $*$ 这样的特殊符号来表示群上的二元运算。通常，我们将使用 + 或 $\cdot$ 来表示运算，对于 $\cdot$，我们通常会直接写 $ab$ 而不是 $a \cdot b$。另一个约定（二元结构中已经提到）是 + 总是阿贝尔的，而 $\cdot$ 可能是也可能不是阿贝尔的。如果运算记作 +，我们将单位元记作 0（如果讨论向量或矩阵，偶尔记作 $\mathbf{0}$ 或 $O$），并将元素 $g$ 的逆元记作 $-g$。如果运算记作 $\cdot$，我们通常会不加注释地将乘积 $g \cdot h$ 写成 $gh$，将单位元记作 1（偶尔记作 $I$ 或 $\operatorname{Id}$ 或 $\operatorname{Id}_{X}$），并将元素 $g$ 的逆元记作 $g^{-1}$。（由于各种原因，如前所述，我们倾向于不使用 $1 / g$。）因此，如果我们讨论关于通用群 $G$ 的结果，我们通常会使用 $\cdot$ 来表示运算，这留下了 $G$ 是阿贝尔的或不是阿贝尔的的可能性。
如果 $G$ 是有限的，我们将 $\#(G)$（$G$ 的元素数量）称为 $G$ 的阶，并称 $G$ 具有有限阶。（有些人用 $|G|$ 表示 $\#(G)$。）如果 $G$ 是无限的，我们称 $G$ 具有无限阶。（偶尔，人们使用 $|G|=\infty$ 或 $\#(G)=\infty$ 的记法，但我对此不赞成，因为 $\infty$ 有许多不同的大小。）
接下来我们转向指数记法。给定一个群 $G$，其运算是 $\cdot$，设 $g^{1}=g$， $g^{2}=g \cdot g$，并且对于 $n \in \mathbb{N}$，我们通过归纳法定义 $g^{n}$：
很容易看出（并且将从我们下面更一般地说明中得出）$g^{n+1}$ 也等于 $g \cdot g^{n}$。与通常的数字一样，我们定义 $g^{0}=1$（这里右边的 1 表示 $G$ 中的单位元），$g^{-1}$ 是 $g$ 的逆元（所以这与我们上面写逆元的约定一致），并且对于 $n \in \mathbb{N}$，我们定义 $g^{-n}=\left(g^{-1}\right)^{n}$。因此 $g^{n}$ 对于所有 $n \in \mathbb{Z}$ 都是定义的。
对于写成 + 的运算，也有类似的记法。我们写 $g=1 \cdot g, g+g=2 \cdot g$，并通过归纳公式 $(n+1) \cdot g=n \cdot g+g=g+n \cdot g$ 定义 $n \cdot g$。然后设 $0 \cdot g=0$，其中
左边的 0 是整数 0，右边的 0 是 $G$ 中的单位元。最后，设 $(-1) \cdot g=-g$ 并且对于 $n>0$，设 $(-n) \cdot g=-(n \cdot g)$。那么 $n \cdot g$ 对于所有 $n \in G$ 都是定义的，但它不是通常意义上的乘积，特别是由于 $\mathbb{Z}$ 通常不会是 $G$ 的子集，而它是一个指数的加法版本（或形式上类似于标量乘法，我们将在下面看到）。然而，对于 $G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$，$n \cdot x$ 与乘积 $nx$ 是相同的，将 $\mathbb{Z}$ 视为 $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 的子集。
指数定律变为：对于所有 $g \in G$ 和 $n, m \in \mathbb{Z}$，
注意，第一条定律意味着
注意：如果群 $G$ 的两个元素 $g, h$ 相互交换，即 $gh=hg$，则称它们交换。上面这表明，即使 $G$ 不是阿贝尔的，一个元素 $g$ 的每个幂都与同一个元素 $g$ 的每个其他幂交换。然而，如果 $G$ 不是阿贝尔的，我们没有其他常见的指数定律 $(gh)^{n}=g^{n}h^{n}$。例如，$(gh)^{2}=ghgh$，很容易看出这等于 $g^{2}h^{2} \Longleftrightarrow gh=hg$，即 $\Longleftrightarrow g$ 和 $h$ 相互交换。更一般地，如果 $g$ 和 $h$ 相互交换，那么对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，$(gh)^{n}=g^{n}h^{n}$。
我们不会写下这些定律的证明，但一般群的证明与非零有理数的证明相同：通过归纳法很容易得出，在将 $n, m$ 分成各种情况后：$n, m$ 都 $\geq 0$，$n, m$ 都 $\leq 0$，$n>0$ 但 $m<0$，$n<0$ 但 $m>0$。
这些定律的加法版本如下：对于所有 $g \in G$ 和 $n, m \in \mathbb{Z}$，
由于 $G$ 是阿贝尔的，我们还有剩余的“指数定律”：
符号 $n \cdot g$ 是一种将整数 $n$ 和阿贝尔群 $G$ 的元素 $g$ 组合起来，以产生 $G$ 的新元素的方式。因此，它与二元运算不同，除非 $G=\mathbb{Z}$。事实上，它的行为类似于向量空间的标量乘法，其中整数扮演标量（实数）的角色。在上述定律中，方程 $(n \cdot g)+m \cdot g=(n+m) \cdot g$ 左侧的 + 是群 $G$ 中的加法，但右侧的 + 是 $\mathbb{Z}$ 中的加法；同样，在方程 $m \cdot(n \cdot g)=(n m) \cdot g$ 中，左侧的两个符号 $\cdot$ 是我们刚刚定义的幂运算，但右侧的项 $nm$ 涉及整数的普通乘法。
例 2.3.1. 在 $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ 中，我们有以下情况：对于所有 $n \in \mathbb{Z}$ 和所有适当的（加法）群中的 $x$， $n \cdot x=nx$，其中左侧是群中的“加法幂运算”，右侧使用普通乘法运算。同样，在群 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中，我们有以下情况：对于所有 $k \in \mathbb{Z}$ 和所有 $[a] \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$，
其中 $k \cdot[a]$ 表示 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中的“加法幂运算”，$ka$ 表示 $\mathbb{Z}$ 中的乘法，而 $[k][a]$ 表示 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中的乘法。
下面的内容可以通过直接归纳法证明，留作练习：
命题 2.3.2. 令 $f: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个同构，其中群运算在 $G$ 和 $G^{\prime}$ 中都写成乘法。那么，对于所有 $g \in G$ 和 $n \in \mathbb{Z}$，
定义 2.4.1. 令 $G$ 是一个群，并令 $g \in G$。如果存在一个 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $g^{n}=1$，我们称 $g$ 具有有限阶。在这种情况下，最小的 $n$（由于良序原理而存在）称为 $g$ 的阶。如果 $g$ 不具有有限阶，我们称 $g$ 的阶是无限的，或称 $g$ 具有无限阶。注意 $G$ 的单位元是唯一一个阶为 1 的元素。
如果 $G$ 是加性书写的，那么 $g \in G$ 具有有限阶，如果存在一个 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $n \cdot g=0$，那么最小的 $n$ 就是 $g$ 的阶。在这种情况下，$g$ 的阶为 $1 \Longleftrightarrow g=0$。
请不要使用记法 $|g|$ 或 $\#(g)$ 来表示 $g$ 的阶。
例 2.4.2. (1) 在 $\mathbb{Z}$ 中，0 的阶为 1，但所有其他元素的阶为无限，因为对于 $a \in \mathbb{Z}, a \neq 0$，并且 $n \in \mathbb{N}$，$n \cdot a=na$ 永远不为 0。同样，$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 的每个非零元素的阶都是无限的。
(2) 在 $\mathbb{R}^{*}$ 中，有限阶 $n$ 的元素特别是 $x \in \mathbb{R}$，使得 $x^{n}=1, n \geq 1$。显然 1 的阶为 1，唯一其他有限阶元素是 -1，其阶为 2。在 $\mathbb{Q}^{*}$ 中也有类似的陈述。
(3) 然而，在 $\mathbb{C}^{*}$ 中，有许多有限阶元素。事实上，有限阶元素与单位根的 $n$ 次方根是相同的，因此 $\mathbb{C}^{*}$ 的所有有限阶元素的集合是 $\bigcup_{n=1}^{\infty} \mu_{n}=\mu_{\infty}$，即所有单位根的集合。
(4) 在 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中，[1] 的阶是 $n$，因为 $n \cdot[1]=[n]=[0]$，但对于 $0<k<n$, $k \cdot[1]=[k] \neq$ [0]。类似的论证表明 $e^{2 \pi i / n}$ 在 $\mu_{n}$ 中的阶是 $n$（也从下面的命题 2.4.3 得出）。
(5) 在 $\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}$ 中，计算表明 [0] 的阶是 1，[1] 的阶是 4，[2] 的阶是 2，[3] 的阶是 4。这对于 $\mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z}$ 的元素可能阶数，以及更一般地对于 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的元素可能阶数，暗示了什么？
(6) 在 $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ 中，每个元素的阶要么是 1（如果为 ([0],[0])）要么是 2（否则）。
使用命题 2.3.2，我们有以下内容，留作练习：
命题 2.4.3. 令 $f: G \rightarrow G^{\prime}$ 是一个同构。那么，对于所有 $g \in G$，$g$ 具有有限阶 $\Longleftrightarrow f(g)$ 具有有限阶，在这种情况下 $g$ 的阶等于 $f(g)$ 的阶。
3.1. 子群的定义。在我们给出的许多群的例子中，其中一个群是另一个群的子集，并且具有相同的运算。这种情况经常出现，我们给它一个特殊名称：
定义 3.1.1. 群 $G$ 的子群 $H$ 是一个子集 $H \subseteq G$，使得
(i) 对于所有 $h_{1}, h_{2} \in H$，$h_{1} h_{2} \in H$。
(ii) $1 \in H$。
(iii) 对于所有 $h \in H$，$h^{-1} \in H$。
从 (i) 可知，$G$ 上的二元运算 $\cdot$ 通过限制在 $H$ 上诱导一个二元运算。此外，$(H, \cdot)$ 仍然是一个群：当限制到 $H$ 的元素时，$\cdot$ 显然仍然是结合的，$1 \in H$ 是 $H$ 的单位元，并且对于所有 $h \in H$，将 $h$ 视为 $G$ 的元素时的逆元 $h^{-1}$ 也是 $h$ 在 $H$ 中的逆元。我们写 $H \leq G$ 表示 $H$ 是 $G$ 的一个子群。
稍微非正式地说，我们称 $H$ 连同从 $G$ 继承的运算再次成为一个群。这假设了封闭性 (i)。注意，如果 $H$ 连同诱导运算具有某个单位元，它必须自动是 $G$ 的单位元（为什么？），并且如果 $h \in H$ 在 $H$ 中有一个逆元，这个逆元必须是 $h^{-1}$，即 $h$ 在 $G$ 中的逆元。